Tabla de verdad

   Con la lógica es posible analizar un enunciado a partir de valores de verdad de las proposiciones y sus conectivas. Para ello se utiliza el álgebra booleana con la cual es posible esquematizar las proposiciones lógicas a partir de dos símbolos (l,0) o (V,F).

   El formato actual de la tabla de verdad fue desarrollada por Ludwig Wittgenstein y consiste en asignar un valor (verdadero o falso) a las proposiciones de un enunciado ya sea simple o compuesto y determinar si tal enunciado es tautológico, contingente o contradictorio. 

    Por ejemplo, a la proposición "El perro camina", se le asigna un símbolo que lo represente (p) y ya que toda proposición es un enunciado declarativo del mundo, a ésta le debe corresponder un valor "verdadero" o "falso".

    Cuando se trata de representar una proposición compuesta en la tabla de verdad es necesario dar un valor a cada una de las proposiciones y a las conectivas. 

• Conjunción:  

-  El perro camina y está feliz

p: El perro camina 

q: El perro está feliz 

  En la parte superior izquierda de la tabla de verdad se colocarán las proposiciones y de bajo de éstas la cantidad de mundos posibles, es decir, las permutaciones posibles dependiendo de los valores de verdadero y falso a cada una de las proposiciones. 

  

  El número de mundos posibles va a ser igual a 2 potenciado al número de proposiciones. En el ejemplo de arriba hay dos proposiciones posibles, por lo tanto habrán cuatro mundos posibles (el primero en donde ambas proposiciones sean verdaderas; el segundo donde la primera sea verdadera y la otra proposición falsa; el tercero en donde la primera es falsa y la segunda verdadera y el cuarto en donde ambas proposiciones son falsas). 

  En la parte superior derecha se colocará la simbolización del  enunciado. Cada uno de los símbolos poseerá un valor dependiendo del mundo. Las proposiciones repetirán su valor al menos que se vean modificadas por una negación, en cuyo caso cambiarán de valor, si "p" es verdadero "no p" será falso y si "p" es falso "no p" será verdadero. 

   Para comprender como se determinan los valores de las conectivas hay que tomar en cuenta que la lógica busca acercarse a la forma en que la razón interpreta los enunciados. Por ende si hablamos de una conjunción hay que preguntarse cuando una proposición que posea esta conectiva se puede considerar como verdadera. En la tabla de verdad la conjunción será verdadera si ambas proposiciones son verdaderas. Si nos dicen "La camisa es azul y grande", al observar que en efecto es azul y grande diremos que nos  han dicho la verdad. Sin embargo tanto si la camisa es azul pero pequeña; si es roja pero grande y si es amarilla y pequeña diremos que el enunciado es falso.

• Disyunción: 

-  O voy al parque o voy al comedor 

p: Voy al parque 

q: Voy al comedor 

     Únicamente diremos que el enunciado es falso si ambas proposiciones son falsa, es decir, con el enunciado del ejemplo, si no va ni al parque ni al comedor. 

    En el lenguaje natural es usual utilizar la disyunción exclusiva, es decir, que solo será verdadera la disyunción únicamente cuando una sola de las proposiciones se cumplen. La lógica abarca también este tipo de disyunción de dos formas. La primera es ampliando la proposición: (pvq) ^ ¬ (p^q) que se puede interpretar como "voy al parque o al comedor pero no voy a hacer las dos cosas". La segunda es utilizando otro símbolo lógico llamado disyuntor exclusivo: 

     Lo importante es comprender que una disyunción puede dar cabida a éstas dos interpretaciones (inclusiva y exclusiva) y que a la hora de presentarse seamos capaces de identificarlas y simbolizarlas adecuadamente. 

• Implicación:

- Si corres te vas a cansar 

p: Corro

q: Me canso 

    En la implicación hay que hacer una excepción con respecto a la interpretación de los valores. En el primer mundo en donde ambas premisas son verdaderas la implicación es verdadera ya que la verdad de una proposición lleva a la verdad de otra, es decir, si nos dicen que "si suelto la borra se cae" se corrobora el hecho si al soltar la borra ésta se cae. Sin embargo si suelta la borra y ésta no se cae el enunciado es falso como en el segundo mundo. En el tercer y cuarto mundo sucede que el antecedente no es verdadero pero ya sea que el consecuente sea falso o verdadero no podemos corroborar  que la implicación es verdadera ya que para ello tenemos que asumir que el antecedente lleva a un determinado consecuente. Con base en esto tampoco se puede asumir que la implicación es verdadera. Si se cae la borra pero no fue soltada no podemos decir que el enunciado "si suelto la borra se cae" es verdadero o falso; al igual que si no se suelta ni se cae la borra. Por ello se decidió que para el sentido teórico Únicamente será falsa la implicación si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. 

     Al igual que en la disyunción se puede dar dos interpretaciones en el lenguaje natural, con la implicación también podemos expresar nociones de igualdad o de causa y efecto recíproco, es decir, que una cosa implica a la otra y viceversa:

- Si te da hambre te mantienes despierto y si te mantienes despierto te da hambre

p: Te da hambre hambre

q: Te mantienes despierto

        También es posible simbolizar el anterior enunciado de la siguiente manera (p -> q) ^ (q -> p) y nos daremos cuenta que ambas simbolizaciones son correctas ya que tienen el mismo resultado en la conectiva principal.

           

           En primer lugar se resuelven los paréntesis, luego los corchetes y por último las llaves. En la tabla anterior observamos en azul el resultado de las conectivas que están dentro del paréntesis. Luego en verde está el resultado de la conectiva principal. Este resultado será entre las conectivas resueltas para este caso. Nunca se utiliza un valor para resolver más de una conectiva. Por ejemplo:

- Ayer me bañé, comí y arreglé mi cuarto 

p: Me bañé

q: Comí

r: Arreglé mi cuarto  

   En este caso, ya que son tres proposiciones, hay ocho mundos posibles (2 elevado al número de proposiciones). Se coloca en la primera proposición la mitad de mundos posible verdaderos y la mitad falso, luego, la siguiente proposición se colocará la mitad de los verdaderos de la anterior y ese número se intercalará entre verdadero y falso hasta completar el número de mundos posibles (en este caso como hay cuatro verdaderos se colocarán dos verdaderos y luego dos falso, dos verdadero y dos falso); lo mismo ocurre con la tercera proposición. 

    En este caso cualquiera de las dos conectivas puede ser la principal, por ello para resolver la tabla de verdad correctamente se escogerán dos proposiciones para resolver una conectiva y luego el resultado de ésta resolverá la otra conectiva con la proposición faltante. Sería incorrecto utilizar la "q" para resolver ambas conectivas.  

    Otra manera de resolverlo:

      Nótese que es el mismo resultado pero con dos procedimientos distintos. Ambas son correctas

     Incluso: 

     Siempre y cuando las diversas interpretaciones expresen lo mismo, la tabla de verdad reflejará su igualdad. En este caso, no importa cómo se ordenen las proposiciones, el enunciado lo que expresa es que se hicieron tres cosas y hay una simultaneidad en ellas. La interpretación representa gran parte de la lógica y de ella los resultados que arroja la tabla de verdad.

     Existen tres resultados posibles que se determinan a partir de la tabla de verdad con respecto a un conjunto de proposiciones. 

• Contingencia

      Si se le aplica la tabla de verdad a una proposición compuesta y da como resultado valores distintos en los diversos mundos posibles se habla de una proposición contingente. Todos los ejemplos que se han colocado hasta ahora son contingentes. 

• Contradicción 

         Si la proposición arroja en todos los mundos posibles falso. 

- El perro come y no come 

p: El perro come 

Recordemos que si la proposición aparece negada los valores cambian.

- Las flores son más hermosas en primavera, luego del invierno: Época en la que los niños permanecen impacientes en sus casas por el frío y esperan a que se acabe esa temporada para disfrutar corriendo por los parques, sin importar que eso dañe las flores y, en consecuencia, sean mucho menos hermosas que en verano.

p: Las flores son más hermosas en primavera
q: En invierno los niños permanecen impacientes en sus casas por el frío
r: En primavera los niños disfrutan corriendo por los parques
s: Los niños dañan las flores 

   Con este conjunto de proposiciones se puede reinterpretar el enunciado de manera que sea más fácil aplicarle la tabla de verdad. Nótese que en la leyenda no se colocan las proposiciones exactamente como en el enunciado, se busca simplificar lo que quiere expresar el enunciado pero siempre cuidando de no agregar información o quitar información esencial del mismo.

   En primer lugar se resuelve los paréntesis (marcados en azul); una vez obtenido los resultados, en este caso tres, debemos determinar cuál será la siguiente conectiva a resolver que por regla serán las que estén dentro de los corchetes (marcado en verde); luego de los corchetes hay  que resolver las llaves (marcado en marrón) que será el resultado entre la primera proposición y la conectiva del corchete; por último se resuelve la conectiva principal (marcado en rojo) entre la implicación dentro del paréntesis y la conjunción de la llave.

• Tautología

   Una tautología en la tabla de verdad es determinada cuando todos los mundos posibles son verdaderos.

-  Si cada vez que llueve se moja el suelo quiere decir que si no se moja el suelo no llovió

p: Llueve
q: Se moja el suelo

       
         Con la tautología es posible determinar si un argumento es válido , es decir, si un conjunto de proposiciones cuya conectiva principal sea una implicación y si el consecuente de tal implicación está contenido en el antecedente.

Aplicar la tabla de verdad a los Ejercicios de simbolización y determinar si el resultado es tautológico, contingente o contradictorio.