Introducción a la lógica en la matemática

La palabra lógica tiene sus raíces en la palabra griega Logos, que puede traducirse en “razón” o “pensamiento”, los griegos fueron los primeros en utilizar la lógica para argumentar y definir la validez de un razonamiento.

En la matemática la lógica se usa con el mismo objetivo que en la época de los griegos, es decir, se usa en la demostración de la validez de un argumento, anteriormente, las demostraciones matemáticas eran únicamente basadas en la geometría de entonces, tiempo después se introdujeron los métodos axiomáticos utilizados para hacer la demostraciones que hoy en día conocemos, luego de siglos de avances, el progreso en la aritmética y el álgebra conllevaron por fin aque las demostraciones no dependieran única y exclusivamente de la geometría.

La lógica en la matemática evolucionó, y tuvo grandes desarrollos durante los siglos XIX y XX, con la Teoría de conjuntos de Cantor y los desarrollos computacionales de Alan Turing, además de muchas otras contribuciones de lógicos y matemáticos, hasta llegar a formalización de una rama de la matemática llamada “Lógica matemática”; Esta centra su atención en 2 ámbitos de estudio, uno en la aplicación de la matemática en el análisis de la lógica formal y otra en la aplicación de la lógica formal en el análisis del razonamiento matemático, la lógica matemática posee 4 pilares fundamentales:

• Teoría de Conjuntos.

• Teoría de modelos.

• Teoría de la demostración.

• Teoría de la recursión.

En estos se basan 4 tipos de validación de argumentos o demostraciones, que comúnmente (no son las únicas) la matemática emplea, estos son:

• Demostración directa.

• Demostración por contrarrecíproco o contraposición.

• Demostración por inducción.

• Demostración por reducción al absurdo.

Todos estos tipos de demostraciones se apoyan en los operadores lógicos, muy utilizados actualmente en las ciencias de la computación, estos provienen a su vez de la lógica proposicional y de la lógica de predicados, que junto a los cuantificadores forman un lenguaje, que permite observar la validez de un argumento.

De todo esto nace el rigor lógico con el cual se crea, se enuncia y se transmiten los conocimientos matemáticos, de allí que la matemática no esté basada en una larga cadena de teoremas con la que se intente aturdir al estudiante, sino más bien, una serie de argumentos lógicos derivados de axiomas, que junto con el cálculo, proveen una base para los demás campos de estudio.

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