Números naturales

Los números naturales son el conjunto formado por los números 0,1,2,3,... y se denota como:

$\mathbb{N}=\left\{0,1,2,3,...\right\}$

Podemos decir que el conjunto de los números naturales posee las operaciones de adicción, sustracción, producto y división.

De estas solo la adicción y el producto son operaciones cerradas en , es decir, al sumar o multiplicar elementos del conjunto de los números naturales el resultado siempre va a ser un número natural.

El conjunto de los números naturales es un conjunto discreto, es decir, entre cada número y el siguiente no existe un número perteneciente al conjunto en medio.

Operaciones básicas:

Adición: 

La adición en los números naturales cumple las siguientes propiedades:

1. Cerrado: Sean $a,b \in \mathbb{N}$ tenemos que: $a+b \in \mathbb{N}$.
2. Conmutatividad: Sean $a,b \in \mathbb{N}$ tenemos que: $a+b=b+a$.
3. Asociatividad: Sean $a,b,c \in \mathbb{N}$ tenemos que  $(a+b)+c=a+(b+c)$.
4. Elemento neutro: Sea $a \in \mathbb{N}, \exists 0 \in \mathbb{N} : a+0=a$. 

Producto:

El producto en los números naturales cumple las siguientes propiedades:

1. Cerrado: Sean $a,b \in \mathbb{N}$ tenemos que: $a \cdot b \in \mathbb{N}$.
2. Conmutatividad: Sean $a,b \in \mathbb{N}$ tenemos que: $a\cdot b=b\cdot a$.
3. Asociatividad: Sean $a,b,c \in \mathbb{N}$ tenemos que  $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
4. Elemento neutro: Sea $a \in \mathbb{N}, \exists 1 \in \mathbb{N} : a\cdot 1=a$. 

Sustracción:

La sustración cumple que:

1. Elemento neutro: Sea $a \in \mathbb{N}, \exists 0 \in \mathbb{N} : a-0=a$.

Veamos que no cumple ni la conmutatividad, ni la asociatividad ni la cerradura.

        Ejemplos: 

• Cerradura:  $3,4$ pertenecen a los naturales pero $3-4=-1$ y $-1 \notin \mathbb{N}$.
• Conmutatividad: $3,4$ pertenecen a los naturales pero $3-4=-1$ y $4-3=1$, pero $-1\neq 1$.
• Asociatividad:  $3,4$ y $5$ pertenecen a los naturales pero $(3-4)-5=-6$ y $3-(4-5)=4$ pero $-6\neq 4$.

División:

La división cumple:

1. Elemento neutro: Sea $a \in \mathbb{N}, \exists 1 \in \mathbb{N} : \frac{a}{1}=a$.

Veamos que no cumple ni la conmutatividad, ni la asociatividad ni la cerradura.

        Ejemplos:

• Cerradura: $3,4$ pertenecen a los naturales pero $3/4= \frac{3}{4}$ y $\frac{3}{4} \notin \mathbb{N}$.
• Conmutatividad: $3,4$ pertenecen a los naturales pero $3/4=\frac{3}{4}$ y $4/3=\frac{4}{3}$, pero $\frac{3}{4}\neq \frac{4}{3}$.
• Asociatividad: $3,4$ y $5$ pertenecen a los naturales pero $(3/4)/5=\frac{3}{20}$ y $3/(4/5)=\frac{15}{4}$ pero $\frac{3}{20}\neq \frac{15}{4}$.

Para más información acerca de los números naturales visitar:

Axiomas de Peano

Buen orden

Volver a secundaria