Función Seno

Al hablar de trigonometría nos referimos a las relaciones que existen entre los lados y los ángulos de un triángulo, la función trigonométrica "seno" nos relaciona al cateto opuesto a un ángulo con la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

Entonces tenemos que:

  

Ahora la formalización de la función seno viene dada tras un estudio realizado en el círculo trigonométrico:

Vemos que en el círculo trigonométrico se forma un tríangulo rectángulo con un vértice en el punto  (0,0) otro vértice en el punto (x,y) y otro vértice en el punto (x,0).

Como podemos observar el lado opuesto al ángulo, viene dado por la coordenada "y" del punto (x,y), es decir la altura del punto ahora analicemos puntos claves del círculo trigonométrico.

1.-Veamos que cuando el punto p(x,y) se encuentra en (1,0) el cateto opuesto vale 0 entonces el seno del ángulo vale 0.(En realidad no se forma un tríangulo, pero estamos tomando en cuenta la coordenada "y" del punto")

2.- Mientras el punto p(x,y) se encuentre en el primer cuadrante el lado opuesto al ángulo será positivo, por lo tanto el seno tambien.

3.- Cuando el punto p(x,y), se encentra en el punto p(0,1), el cateto opuesto vale 1 y como la hipotenusa siempre es igual a 1 en el círculo trigonométrico, el seno del ángulo vale 1.

4.- Cuando el punto p(x,y) se encuentra en el segundo cuadrante el cateto opesto es positivo así que el seno es positivo.

5.-De igual manera como pasa en el punto p(1,0) en el punto p(-1,0) el seno toma como valor el seno.

6.-Mientras el seno se encuentra en el tercer cuadrante toma valores negativos dado que la coordenada y del punto es negativa, de igual manera para el cuarto cuadrante.

7.- Cuando el punto se encuentra en la coordenada (0,-1) el seno toma como valor -1. 

Ahora con los valores obtenidos anteriormente vemos la gráfica del seno.

Nota: Hay que tomar en cuenta que los valores del círculo trigonométrico se miden mediante el ángulo, por lo tanto los valores de "x" se miden en radianes, así que los puntos (1,0);(0,1);(-1,0);(-1,-1) serán 0, π/2, π y 3π/2 respectivamente.

Ahora realicemos un análisis de la función:

Dominio: (-∞,∞)

Rango: [-1,1]

Crece en el intervalo (-π/2+2kπ,π/2+2kπ), k ∈ R

Decrece en el intervalo (π/2+2kπ,3π/2+2kπ), k ∈ R

Es positivo en el intervalo  (0+2kπ,π+2kπ), k ∈ R

Es negativo en el intervalo (π+2kπ,0+2kπ), k ∈ R

Es concava hacia abajo en el intervalo (0+2kπ,π+2kπ), k ∈ R

Es concava hacia arriba en el intervalo (π+2kπ,0+2kπ), k ∈ R
Tiene mínimo en el punto (-π/2,-1) se repite con una frecuencia de 2π.
Tiene máximo en el punto (π/2,1) se repite con una frecuencia de 2π.

No posee límite cuando tiende al infinito o al menos infinito.

Es una función acotada por y=1 y y = -1 

Y no posee límite cuando tiende a infinito.

En la rama principal del seno es decir desde -π/2 hasta π/2 es una función biyectiva, por lo tanto tiene inversa y su función inversa es el arcoseno.

Nota: No debemos confundir la función inversa con el recíproco, la función inversa es aquella que al componer la función con su inversa es igual al argumento, es decir: Arcoseno(seno(x)) = x )

La función reciproca del seno es: cosecante = 1/sen.

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