Máximo común divisor

El máximo común divisor entre 2 números como su nombre lo indica es el mayor de los números que dividen a ambos números dando como resultado un entero, es decir, un número sin decimal,por ejemplo.

Los números que dividen al 14 y al 24 son:

Como vemos el mayor número que los divide, al  24 y al 14 es el 2, así que el máximo común divisor entre el 24 y el 14 es el 2.

Entendido esto, ¿Para qué nos sirve el máximo común divisor?, a nivel de primaria el máximo común divisor, nos sirve para hallar el mínimo común múltiplo, para usarlo en la reducción de fracciones o simplificación, y para niveles avanzados sirven para probar propiedades de números así como para hallar soluciones de ecuaciones diónfanticas lineales, pero esos temas son avanzados.

Aquí te voy a mostrar métodos para hallar el máximo común divisor.

Método 1: ( Por divisores)

Tenemos que:

Para hallar el máximo común divisor entre 2 numeros, puedes hacer como yo lo hice y encontrar primero todos los divisores de ambos números, luego comparas y ves cual es el común divisor mayor entre ambos.

Por ejemplo:

 Los divisores son:

 Como el 8 es el mayor de sus divisores, entonces:

Pero, ¿Cuál es la debilidad de este método?, Cuando los numeros a los cuales les vas a hallar el máximo común divisor son muy grandes, se hace muy largo y complicado hallar todos los divisores de cada uno de los números.

Método 2: ( Por factores primos )

Tenemos que:

Para aplicar este método hay que manejar un poco la descomposición de números en factores primos y cumplir los siguientes pasos:

1.- Hallar la descomposición por factores primos.

2.- Se toman los comúnes con su menor exponente y se multiplican.

Se puede ver el el común es el 2 y el menor exponente es el 3, así que:

¿Y?, ¿Este método tiene alguna debilidad?, pues fíjate, trata de sacar el máximo común divisor entre  12345 y 54321. ¿Con alguno de estos métodos puedes hacerlo en menos de una hora?, para eso tenemos el método número 3, el milagroso Algoritmo de Euclides nos permite hallar el máximo común divisor entre estos 2 números en menos de 2 minutos.

Por el algoritmo de la división yo sé que el M.C.D(12345,54321)=3

Para ver ¿cómo?, visita la página del Algoritmo de Euclides.